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Mesh in CFD simulation. How improve it?

Computational fluid dynamics (CFD) is based on the resolution of extremely complex physical problems using finite element methods: the solution is calculated for a finite number of points and subsequently interpolated over the entire domain. The discretization of the domain takes place through the process of creating the mesh, commonly called meshing: the mesh is nothing but the set of all the elements used for the discretization of the domain.

Figure 1: Meshing of a NACA profile

Generating an adequate mesh to solve the problem you are facing is a complex operation that requires specific skills from the designer and a considerable amount of time: it is estimated that about 30% of the time used to set up a correct simulation CFD is used precisely in the realization of the mesh. We can therefore easily imagine how complex it is to summarize in a few lines the mesh generation process; on the subject we advise you to consult the increasingly substantial technical literature of the sector, as well as to engage in the creation of some meshes for simple geometries and characterized by a reduced number of cells. It may be more interesting to tackle the issue of mesh quality: below we will analyze the commonly used indicators to evaluate the quality of a mesh and, therefore, the possibility of using said mesh in a fluid dynamics simulation.

The quality of the mesh is, as has been said, fundamental for obtaining reliable results from CFD simulations: we will never be able to obtain a good solution starting from a poor quality mesh. To evaluate the quality of the mesh, we typically use some important indicators related to the cells that make up the mesh:

  1. Non-orthogonality
  2. Skewness
  3. Aspect ratio (AR)

 

Non-orthogonality

Each element that makes up the mesh, be it 1D, 2D or 3D, will be formed by geometries more or less close to regular geometries. Formally, the orthogonality of the mesh is the angular deviation between the segment that connects the centers of two cells and the normal to the shared face. The non-orthogonality of a cell is therefore an indicator that measures how much the angle formed by two adjacent cells deviates from its ideal value (for example 90 ° for quadrangular faces or 60 ° for triangular faces). Angles distant from the optimum increase the difficulty of calculating the magnitude gradients exponentially and worsen the continuity of the solution. It seems then evident that the designer’s goal is to obtain a mesh with cells having reduced non-orthogonality. Note that the non-orthogonality of the mesh is considered equal to the maximum non-orthogonality present within the mesh itself; in particular, if we assume that two adjacent cells have non-orthogonality equal to 0 when they form a perfectly ideal angle, we can state that:

 

A)    For non-orthogonality> 85: it is practically impossible to obtain an acceptable solution; the mesh must be revised.

B)    For 70 <non-orthogonality <85: value of acceptable non-orthogonality that however requires some precautions from the designer; for example, the use of correctors within numerical resolution methods will be required. The solution obtained could be reliable, but it will have to be checked carefully.

C)    For 50 <non-orthogonality <70: discrete non-orthogonality value, is typically considered as a good compromise to obtain relatively reliable solutions without excessively increasing the computational cost.

D)    For 25 <non-orthogonality <50: good non-orthogonality value, allows to use calculation schemes less robust and more accurate than less regular meshes; with non-orthogonality values ​​of less than 40, second-order calculation schemes can be exploited, rather than first-order ones, considerably improving the reliability of the solution.

E)     For non-orthogonality <25: optimal non-orthogonality value thanks to which it is possible to safely use second order resolution schemes, obtaining very precise and reliable solutions. The achievement of such a small value of non-orthogonality risks, in some cases, to weigh severely on time, and therefore on the computational cost.

 

Figure 2: Examples of non-orthogonal meshes

Skewness

The second parameter to consider when evaluating the quality of the mesh is the asymmetry of the cells, typically indicated with the term skewness. The skewness of a cell is an indicator that measures how much the real geometry of the cell deviates from the corresponding ideal geometry (for example, the ideal geometry for a hexahedral cell would be a cube): the greater the skewness, the more the geometry will diverge from the ideal. The asymmetry of the cells is a very important problem in the CFD since the numerical equations used in solving the problem are based on the hypothesis that the cells are relatively close to the ideal geometries.The cell skewness is calculated using the normalized angular deviation method, and is defined as:

In the aforementioned definition of the skewness,  refers to the major angle of the cell in question,  to the minor angle while  is the angle of the relative ideal reference geometry. In light of this definition, the cell skewness (for 3D cells) is considered as follows:

 

Valore di skewness Qualità della cella
From 0.9 to 1.0 Worst
From 0.75 to 0.9 Poor
From 0.5 to 0.75 Fair
From 0.25 to 0.5 Good
From 0 to 0.25 Excellent

 

It would be preferable that all the cells that make up the mesh were at least “good”, therefore with skewness less than 0.5; it is however absolutely fine to use meshes that present a limited number of cells with poor quality, especially if these are in positions of little physical interest. A 3D mesh can be considered of high quality when all the cells have a skewness of less than 0.4 and most of them are of excellent quality (<0.25).


Figure 3: Comparison between low skew and high skew cells.

Aspect Ratio

The third parameter to consider in assessing the quality of a mesh is the so-called Aspect Ratio (AR), or the ratio between the maximum size and the minimum size of a cell. Unlike non-orthogonality and skewness, however, there are no benchmark values ​​for evaluating an optimal AR in creating the mesh for a fluid dynamics simulation. Although reduced AR values ​​contribute to the stability of the solution, avoiding unbalances of the fluid flow, it is possible to use meshes with very high AR (even well over 1000) if the mesh size is in the same direction as the fluid. Generally, it can be assumed that an Aspect Ratio of less than 20 does not give any solution convergence problem, regardless of the characteristics of the fluid flow.

Conclusions

Three important indicators of mesh quality were analyzed: non-orthogonality, skewness and Aspect Ratio: the considerations reported above have a very generic value and should be applied to real cases with knowledge of the facts. The experience of the designer in the meshing is fundamental to be able to distinguish the most important indicators for the mesh in question, going to improve one or more specific characteristics of the mesh.In general, we must always remember an important lesson concerning meshing: a good mesh does not guarantee a good solution, but a poor mesh guarantees a poor solution.

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Analisi CFD nel settore HVAC

Nella progettazione di impianti HVAC è pratica comune assumere importanti decisioni riguardanti il design impiantistico basandosi sulla pratica costruttiva oppure su basi analitiche prettamente teoriche. Ad esempio, sappiamo che la possibilità di realizzare impianti a tutta aria per la climatizzazione invernale di ambienti con altezze elevate è limitata dalla problematica della climatizzazione dell’aria. Allo stesso modo, è nota la necessità di “lavare” le pareti vetrati di ambienti caratterizzati da elevate temperature ed umidità relativa, quali le piscine, per evitare la formazione di condensa sulle stesse. Si potrebbe proseguire a lungo con esempi a tal riguardo. Benché le conoscenze pratiche e teoriche facciano indubitabilmente parte integrante del bagaglio di esperienza di un progettista, la necessità di migliorare ed ottimizzare il più possibile gli impianti meccanici, ed in particolare quelli a servizio della climatizzazione ambientale, richiede soluzioni più accurate e ricercate sulla base del singolo caso specifico oggetto di progettazione.

 

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Figura 1: Andamento della velocità dell’aria su profilo NACA-0012 – Fonte: Direct Numerical Simulation of Flows over an NACA-0012 Airfoil at low and Moderate Reynolds Numbers (NASA)

Al fine di soddisfare questa crescente richiesta di accuratezza e precisione, i progettisti possono ricorrere ad uno strumento estremamente potente: la fluidodinamica computazionale (CFD, acronimo dall’inglese Computer Fluid Dynamics). L’utilizzo della CFD permette infatti di ottenere una soluzione numerica, calcolata attraverso metodi ricorsivi, delle complesse equazioni di Navier-Stokes che, come è noto, governano la dinamica dei fluidi. In pratica, la fluidodinamica computazionale permette di dare una forma precisa e puntuale, nel tempo e nello spazio alle spesso fumose soluzioni analitiche che, anche quando ottenibili, risultano essere troppo complesse per l’utilizzo nella progettazione pratica.

Tornando all’esempio, esposto in precedenza, degli impianti ad aria per la climatizzazione invernale di ambienti con altezze elevate, sappiamo che per limitare il fenomeno della stratificazione dell’aria è necessario immettere in ambiente un numero considerevole di ricambi orari d’aria (almeno 5/6 volumi/ora). Ma esattamente, qual è il numero di ricambi orari necessari per ottenere un comfort dell’aria accettabile? A questa domanda, ogni progettista risponderà fornendo la sua versione, basata sulla propria esperienza pregressa. La CFD ci permette invece di risolvere questo problema con certezza: impostando correttamente il modello ed assumendo adeguate condizioni al contorno è possibile prevedere quale sarà la distribuzione di temperatura all’interno dell’intero ambiente, comprendendo immediatamente quanto incida la stratificazione dell’aria. In questo modo, grazie alla CFD, potremmo valutare la fattibilità di un impianto ad aria basandoci su ipotesi ben più solide: conosceremo l’esatta portata d’aria da immettere in ambiente, alle condizioni fissate, necessaria per portare l’ambiente stesso alla temperatura desiderata nei tempi previsti.

Si può pertanto fare un’interessante considerazione riguardo l’utilizzo della CFD per la progettazione di impianti HVAC: la fluidodinamica computazionale semplifica l’attività di progettazione aggiungendovi livelli di complessità. Perché questa apparente contraddizione? La CFD permette di sviluppare i progetti lungo direttrici che sono tipicamente impedite alla progettazione tradizionale, consentendo di spingere i progetti verso livelli di accuratezza sempre maggiori.

Per comprendere meglio le possibilità collegate all’utilizzo della CFD, ma anche le relative criticità, è sicuramente utile analizzare il tipico work-flow di una simulazione fluidodinamica. I passaggi necessari per ottenere dei risultati affidabili e fisicamente coerenti sono così riassumibili:

  1. Pre-Processing
  2. Validazione del modello
  3. Post-Processing

Il Pre-Processing comprende tutte quelle attività propedeutiche e necessarie all’avvio delle simulazioni numeriche. Per prima cosa sarà pertanto necessario definire la geometria all’interno della quale lanciare la simulazione, ovvero il volume di controllo; al fine di ottenere risultati coerenti è necessario che la geometria presenti un elevato livello di dettaglio. Stabilita la geometria, si procede alla definizione del modello fisico, impostando tutte le equazioni che definiscono l’oggetto della simulazione. Scegliere correttamente le equazioni che governano la simulazione è di fondamentale importanza per trovare un corretto bilanciamento tra l’accuratezza della soluzione ed il tempo di calcolo. In questa fase è inoltre definire le cosiddette condizioni al contorno, ovvero tutte le condizioni iniziali imposte dal caso specifico, nonché le ipotesi proposte per l’impostazione della simulazione.

Terminato il Pre-Processing è necessario validare il modello appena definito per permetterne l’utilizzo al variare di alcune condizioni e consentirne dunque l’utilizzo: sarebbe impensabile realizzare un differente modello per ogni minima modifica apportata ad esso. La validazione del modello è però il passaggio più complesso nell’ambito della fluidodinamica computazionale; durante la validazione è infatti necessario effettuare le seguenti operazioni:

  1. Realizzazione della Mesh: Si definisce “mesh” la discretizzazione del volume di controllo. Una mesh è formata da un gran numero di celle di forme e dimensioni variabili decise dal progettista: per ogni cella il programma calcolerà tutte le proprietà del fluido (velocità, pressione, etc.). La realizzazione della mesh è, escludendo il tempo computazionale vero e proprio, l’operazione più lunga nell’ambito delle simulazioni CFD ed ha evidentemente un’importanza fondamentale. Una trattazione più attenta del “meshing”, nonché delle problematiche ad esso legate, è disponibili qui [NOTE: Add link to the entry about “meshing”].

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Figura 2: Mesh relativa alla girante di una pompa centrifuga – Fonte: truegrid.com/cfdgallery

 

2.  Scelta ed impostazione del risolutore: Costruita la mesh, è necessario scegliere il risolutore più adeguato per l’applicazione in oggetto. Senza entrare nel dettaglio dei complessi algoritmi che si nascondono dietro le sigle (PISO, SIMPLE, etc.) che tipicamente si incontrano quando ci si avvicina alla CFD, bisogna sapere che ciascun risolutore calcola la soluzione numerica attraverso algoritmi iterativi. Le equazioni di partenza sono le medesime, ma varia l’ordine in cui queste vengono risolte, nonché l’utilizzo dei correttori numerici necessari per migliorare la stabilità della simulazione.

3. Ottenimento della soluzione preliminare: Una volta scelto il risolutore più adatto per l’esigenza, si può finalmente lanciare una simulazione preliminare. Se tutti i precedenti passaggi sono stati effettuati correttamente, il simulatore restituirà una soluzione. Questa deve essere innanzitutto confrontata con le soluzioni analitiche: la soluzione ottenuta è fisicamente sensata ed è coerente con quanto ci saremmo aspettati? In caso di risposta affermativa, si può procedere con la validazione del modello, altrimenti sarà necessario rivedere le operazioni svolte in precedenza.

4. Controlli di convergenza: l’ottenimento di una soluzione accettabile non è certamente sufficiente per poter considerare validato il modello realizzato. In seguito sarà necessario procedere con le simulazioni per raffinare la soluzione, ovvero migliorarne la convergenza, e per verificare che la soluzione ottenuta non sia frutto di condizioni particolari non imposte direttamente dal progettista. Se anche questo passaggio viene superato con successo, il modello si può infine considerare validato.

HVAC simulation server room CFD streamlines

Figura 3: Linee di flusso dell’aria in un data center – Fonte: simscale.com

 

Avendo in mano un modello computazionale corretto e stabile si potranno simulare le diverse condizioni richieste nell’ambito della progettazione. I risultati della simulazioni saranno però interminabili tabelle di numeri, di fatto incomprensibili. Per tradurre questi risultati in qualcosa di utilizzabili dovranno essere utilizzati degli strumenti di Post-Processing che permetteranno di circoscrivere i risultati esposti a quelli più interessanti, nonché di ottenere soluzioni grafiche facilmente comprensibili ed utilizzabili.

Abbiamo voluto fornire un assaggio dei dilemmi progettuali che la fluidodinamica computazionale è in grado di aiutare a risolvere, nonché dare un’idea di quanto possa essere complesso impostare correttamente le simulazioni CFD. Bisogna però ricordare che l’utilizzo della CFD non è da considerarsi sostitutivo rispetto agli strumenti della progettazione tradizionale: al fine di implementare correttamente un modello fluidodinamico coerente e fisicamente sensato è infatti necessario avere una buona padronanza delle equazioni analitiche che governano la dinamica dei fluidi, ovvero le già citate equazioni di Navier-Stokes. Inoltre, al fine di ottenere soluzioni utili e coerenti in tempi ragionevoli e con costi di progettazione contenuti, è necessario che il progettista circoscriva correttamente il problema postogli, evitando di disperdere tempo ed energie in simulazioni inutili, se non dannose.