La fluidodinamica computazionale (CFD) si basa sulla risoluzione di problemi fisici estremamente complessi tramite metodi ad elementi finiti: la soluzione viene calcolata per un numero finito di punti e successivamente interpolata sull’intero dominio. La discretizzazione del dominio avviene tramite il processo di creazione della mesh, comunemente detto meshing: la mesh non è altro che l’insieme di tutti gli elementi utilizzati per la discretizzazione del dominio.
Figura 1: Mesh di profilo NACA
La generazione di una mesh adeguata per la risoluzione del problema che si sta affrontando è un’operazione complessa che richiede competenze specifiche da parte del progettista ed una considerevole quantità di tempo: si stima che circa il 30% del tempo utilizzato per impostare una corretta simulazione CFD sia impiegato proprio nella realizzazione della mesh. Si può quindi facilmente immaginare quanto sia complesso riassumere in poche righe il processo di generazione della mesh; sull’argomento consigliamo di consultare la sempre più corposa letteratura tecnica di settore, nonché di cimentarsi nella creazione di alcune mesh per geometrie semplici e caratterizzata da un ridotto numero di celle. Può essere invece più interessante affrontare la tematica della qualità della mesh: di seguito analizzeremo gli indicatori comunemente utilizzati per valutare la bontà di una mesh e, dunque, la possibilità di utilizzare detta mesh in una simulazione fluidodinamica.
La qualità della mesh è, come si è detto, fondamentale per l’ottenimento di risultati attendibili dalle simulazioni CFD: non riusciremo mai ad ottenere una buona soluzione partendo da una mesh di scarsa qualità. Per valutare allora la qualità della mesh, si utilizzano tipicamente alcuni importanti indicatori relativi alle celle che compongono la mesh:
- Non-ortogonalità
- Skewness (Asimmetria)
- Aspect ratio (AR)
Non-ortogonalità
Ogni elemento che compone la mesh, sia esso 1D, 2D oppure 3D, sarà formato da geometrie più o meno prossime alle geometrie regolari. Formalmente, l’ortogonalità della mesh è la deviazione angolare tra il segmento che connette i centri di due celle e la normale alla faccia condivisa. La non-ortogonalità di una cella è pertanto un indicatore che misura quanto l’angolo formato da due celle adiacenti si discosti dal suo valore ideale (per esempio 90° per facce quadrangolari oppure 60° per facce triangolari). Angoli distanti dall’ottimo incrementano esponenzialmente la difficoltà di calcolo dei gradienti delle grandezze e peggiorano la continuità della soluzione. Sembra allora evidente che l’obiettivo del progettista sia quello di ottenere una mesh con celle aventi ridotta non-ortogonalità. Si noti che la non-ortogonalità della mesh si considera pari alla non-ortogonalità massima presente all’interno della mesh stessa; in particolare, se si assume che due celle adiacenti abbiano non-ortogonalità pari a 0 quando formino un angolo perfettamente ideale, si può affermare che:
- Per non-ortogonalità > 85: è praticamente impossibile ottenere una soluzione accettabile; si dovrà procedere alla revisione della mesh.
- Per 70 < non-ortogonalità < 85: valore di non-ortogonalità accettabile che richiede però alcuni accorgimenti da parte del progettista; sarà per esempio richiesto l’utilizzo di correttori all’interno dei metodi di risoluzione numerici. La soluzione ottenuta potrebbe essere attendibile, ma andrà verificata con attenzione.
- Per 50 < non-ortogonalità < 70: valore di non-ortogonalità discreto, viene tipicamente considerato come un buon compromesso per ottenere soluzioni relativamente affidabili senza incrementare eccessivamente il costo computazionale.
- Per 25 < non-ortogonalità < 50: valore di non-ortogonalità buono, permette di utilizzare schemi di calcolo meno robusti e più accurati rispetto a mesh meno regolari; con valori di non-ortogonalità inferiori a 40 si possono sfruttare schemi di calcolo del secondo ordine, piuttosto che del primo, migliorando considerevolmente l’affidabilità della soluzione.
- Per non-ortogonalità < 25: valore di non-ortogonalità ottimale grazie al quale è possibile utilizzare in tranquillità schemi risolutivi del secondo ordine, ottenendo soluzioni molto precise ed attendibili. Il raggiungimento di un valore così ridotto di non-ortogonalità rischia, in alcuni casi, di pesare gravemente sul tempo, e dunque sul costo, computazionale.
Figura 2: Esempi di mesh non ortogonali
Skewness
Il secondo valore da tenere in considerazione quando si valuta la qualità della mesh è l’asimmetria delle celle, tipicamente indicata con il termine inglese skewness. La skewness di una cella è un indicatore che misura quanto la geometria reale della cella si discosti dalla corrispondente geometria ideale (per esempio, la geometria ideale per una cella esaedrica sarebbe un cubo): maggiore è la skewness, più la geometria si discosterà dall’ideale. L’asimmetria della celle è un problema molto rilevante nella CFD poiché le equazioni numeriche utilizzate nella risoluzione del problema si basano sull’ipotesi che le celle siano relativamente prossime alle geometrie ideali.
La skewness della cella viene calcolata utilizzando il metodo della deviazione angolare normalizzata, ed è definita come:
skewness=max[(θ_max-θ_e)/(180-θ_e );(θ_e-θ_min)/θ_e ]
Nella sopracitata definizione della skewness, θ_max si riferisce all’angolo maggiore della cella in oggetto, θ_min all’angolo minore mentre θ_e è l’angolo della relativa geometria ideale di riferimento. Alla luce di questa definizione, la skewness della cella (per celle 3D) viene considerata come segue:
Valore di skewness – Qualità della cella
Compreso tra 0.9 e 1.0 – Pessima
Compreso tra 0.75 e 0.9 – Scarsa
Compreso tra 0.5 e 0.75 – Accettabile
Compreso tra 0.25 e 0.5 – Buona
Compreso tra 0 e 0.25 – Eccellente
Sarebbe preferibile che tutte le celle che compongono la mesh fossero almeno accettabili, quindi con skewness inferiore a 0.5; è tuttavia assolutamente lecito utilizzare mesh che presentino un numero limitato di cell con qualità scarsa, soprattutto se queste si trovano in posizioni di scarso interesse fisico. Una mesh 3D si può considerare di elevata qualità quando tutte le celle abbiano skewness inferiore a 0.4 e la maggior parte di essere siano di qualità eccellente (<0.25).
Figura 3: Confronto tra cella simmetrica e cella fortemente asimmetrica
Aspect Ratio
Il terzo indicatore da tenere in considerazione per valutare la qualità di una mesh è il cosiddetto Aspect Ratio (AR), ovvero il rapporto tra la dimensione massima e la dimensione minima di una cella. Al contrario di non-ortogonalità e skewness, però, non vi sono dei valori di benchmark per valutare un AR ottimale nella creazione della mesh per una simulazione fluidodinamica. Sebbene valori ridotti di AR contribuiscano alla stabilità della soluzione, evitando sbilanciamenti del flusso di fluido, è possibile utilizzare mesh con AR molto elevati (anche ben oltre 1000) qualora la dimensione della mesh sia nella medesima direzione del fluido. Generalmente, si può assumere che un Aspect Ratio inferiore a 20 non dia alcun problema di convergenza della soluzione, indipendentemente dalle caratteristiche del flusso di fluido.
Conclusioni
Si sono analizzati tre importanti indicatori della qualità della mesh: non-ortogonalità, skewness e Aspect Ratio: le considerazioni riportate in precedenza hanno una valenza molto generica e vanno applicate a casi reali con cognizione di causa. L’esperienza del progettista nel meshing è fondamentale per saper distinguere gli indicatori più importanti per la mesh in oggetto, andando a migliorare una o più caratteristiche specifiche della mesh.
In generale, bisogna sempre ricordare un’importante lezione riguardante il meshing: una buona mesh non garantisce una buona soluzione, ma una mesh scadente garantisce una soluzione scadente.
Ing. Gaetano Trovato
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