Mesh in simulazioni CFD. Come migliorarla?

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La fluidodinamica computazionale (CFD) si basa sulla risoluzione di problemi fisici estremamente complessi tramite metodi ad elementi finiti: la soluzione viene calcolata per un numero finito di punti e successivamente interpolata sull’intero dominio. La discretizzazione del dominio avviene tramite il processo di creazione della mesh, comunemente detto meshing: la mesh non è altro che l’insieme di tutti gli elementi utilizzati per la discretizzazione del dominio.

Naca Profile
Figura 1: Mesh di profilo NACA

La generazione di una mesh adeguata per la risoluzione del problema che si sta affrontando è un’operazione complessa che richiede competenze specifiche da parte del progettista ed una considerevole quantità di tempo: si stima che circa il 30% del tempo utilizzato per impostare una corretta simulazione CFD sia impiegato proprio nella realizzazione della mesh. Si può quindi facilmente immaginare quanto sia complesso riassumere in poche righe il processo di generazione della mesh; sull’argomento consigliamo di consultare la sempre più corposa letteratura tecnica di settore, nonché di cimentarsi nella creazione di alcune mesh per geometrie semplici e caratterizzata da un ridotto numero di celle. Può essere invece più interessante affrontare la tematica della qualità della mesh: di seguito analizzeremo gli indicatori comunemente utilizzati per valutare la bontà di una mesh e, dunque, la possibilità di utilizzare detta mesh in una simulazione fluidodinamica.

La qualità della mesh è, come si è detto, fondamentale per l’ottenimento di risultati attendibili dalle simulazioni CFD: non riusciremo mai ad ottenere una buona soluzione partendo da una mesh di scarsa qualità. Per valutare allora la qualità della mesh, si utilizzano tipicamente alcuni importanti indicatori relativi alle celle che compongono la mesh:

  1. Non-ortogonalità
  2. Skewness (Asimmetria)
  3. Aspect ratio (AR)

Non-ortogonalità
Ogni elemento che compone la mesh, sia esso 1D, 2D oppure 3D, sarà formato da geometrie più o meno prossime alle geometrie regolari. Formalmente, l’ortogonalità della mesh è la deviazione angolare tra il segmento che connette i centri di due celle e la normale alla faccia condivisa. La non-ortogonalità di una cella è pertanto un indicatore che misura quanto l’angolo formato da due celle adiacenti si discosti dal suo valore ideale (per esempio 90° per facce quadrangolari oppure 60° per facce triangolari). Angoli distanti dall’ottimo incrementano esponenzialmente la difficoltà di calcolo dei gradienti delle grandezze e peggiorano la continuità della soluzione. Sembra allora evidente che l’obiettivo del progettista sia quello di ottenere una mesh con celle aventi ridotta non-ortogonalità. Si noti che la non-ortogonalità della mesh si considera pari alla non-ortogonalità massima presente all’interno della mesh stessa; in particolare, se si assume che due celle adiacenti abbiano non-ortogonalità pari a 0 quando formino un angolo perfettamente ideale, si può affermare che:

  • Per non-ortogonalità > 85: è praticamente impossibile ottenere una soluzione accettabile; si dovrà procedere alla revisione della mesh.
  • Per 70 < non-ortogonalità < 85: valore di non-ortogonalità accettabile che richiede però alcuni accorgimenti da parte del progettista; sarà per esempio richiesto l’utilizzo di correttori all’interno dei metodi di risoluzione numerici. La soluzione ottenuta potrebbe essere attendibile, ma andrà verificata con attenzione.
  • Per 50 < non-ortogonalità < 70: valore di non-ortogonalità discreto, viene tipicamente considerato come un buon compromesso per ottenere soluzioni relativamente affidabili senza incrementare eccessivamente il costo computazionale.
  • Per 25 < non-ortogonalità < 50: valore di non-ortogonalità buono, permette di utilizzare schemi di calcolo meno robusti e più accurati rispetto a mesh meno regolari; con valori di non-ortogonalità inferiori a 40 si possono sfruttare schemi di calcolo del secondo ordine, piuttosto che del primo, migliorando considerevolmente l’affidabilità della soluzione.
  • Per non-ortogonalità < 25: valore di non-ortogonalità ottimale grazie al quale è possibile utilizzare in tranquillità schemi risolutivi del secondo ordine, ottenendo soluzioni molto precise ed attendibili. Il raggiungimento di un valore così ridotto di non-ortogonalità rischia, in alcuni casi, di pesare gravemente sul tempo, e dunque sul costo, computazionale.
  • Esempi di mesh non ortogonaliFigura 2: Esempi di mesh non ortogonali

Skewness
Il secondo valore da tenere in considerazione quando si valuta la qualità della mesh è l’asimmetria delle celle, tipicamente indicata con il termine inglese skewness. La skewness di una cella è un indicatore che misura quanto la geometria reale della cella si discosti dalla corrispondente geometria ideale (per esempio, la geometria ideale per una cella esaedrica sarebbe un cubo): maggiore è la skewness, più la geometria si discosterà dall’ideale. L’asimmetria della celle è un problema molto rilevante nella CFD poiché le equazioni numeriche utilizzate nella risoluzione del problema si basano sull’ipotesi che le celle siano relativamente prossime alle geometrie ideali.
La skewness della cella viene calcolata utilizzando il metodo della deviazione angolare normalizzata, ed è definita come:

skewness=max⁡[(θ_max-θ_e)/(180-θ_e );(θ_e-θ_min)/θ_e ]

Nella sopracitata definizione della skewness, θ_max si riferisce all’angolo maggiore della cella in oggetto, θ_min all’angolo minore mentre θ_e è l’angolo della relativa geometria ideale di riferimento. Alla luce di questa definizione, la skewness della cella (per celle 3D) viene considerata come segue:

Valore di skewness –  Qualità della cella
Compreso tra 0.9 e 1.0 – Pessima
Compreso tra 0.75 e 0.9 – Scarsa
Compreso tra 0.5 e 0.75 – Accettabile
Compreso tra 0.25 e 0.5 – Buona
Compreso tra 0 e 0.25 – Eccellente

Sarebbe preferibile che tutte le celle che compongono la mesh fossero almeno accettabili, quindi con skewness inferiore a 0.5; è tuttavia assolutamente lecito utilizzare mesh che presentino un numero limitato di cell con qualità scarsa, soprattutto se queste si trovano in posizioni di scarso interesse fisico. Una mesh 3D si può considerare di elevata qualità quando tutte le celle abbiano skewness inferiore a 0.4 e la maggior parte di essere siano di qualità eccellente (<0.25).

skewness
Figura 3: Confronto tra cella simmetrica e cella fortemente asimmetrica

Aspect Ratio
Il terzo indicatore da tenere in considerazione per valutare la qualità di una mesh è il cosiddetto Aspect Ratio (AR), ovvero il rapporto tra la dimensione massima e la dimensione minima di una cella. Al contrario di non-ortogonalità e skewness, però, non vi sono dei valori di benchmark per valutare un AR ottimale nella creazione della mesh per una simulazione fluidodinamica. Sebbene valori ridotti di AR contribuiscano alla stabilità della soluzione, evitando sbilanciamenti del flusso di fluido, è possibile utilizzare mesh con AR molto elevati (anche ben oltre 1000) qualora la dimensione della mesh sia nella medesima direzione del fluido. Generalmente, si può assumere che un Aspect Ratio inferiore a 20 non dia alcun problema di convergenza della soluzione, indipendentemente dalle caratteristiche del flusso di fluido.

Conclusioni
Si sono analizzati tre importanti indicatori della qualità della mesh: non-ortogonalità, skewness e Aspect Ratio: le considerazioni riportate in precedenza hanno una valenza molto generica e vanno applicate a casi reali con cognizione di causa. L’esperienza del progettista nel meshing è fondamentale per saper distinguere gli indicatori più importanti per la mesh in oggetto, andando a migliorare una o più caratteristiche specifiche della mesh.
In generale, bisogna sempre ricordare un’importante lezione riguardante il meshing: una buona mesh non garantisce una buona soluzione, ma una mesh scadente garantisce una soluzione scadente.

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Ing. Gaetano Trovato

Ing. Gaetano Trovato

Progettista e Consulente per importanti società ed enti nel settore HVAC e dell’energia, sia in ambito civile terziario che industriale ed è titolare e fondatore di STT ENGINEERING. E’ autore di numerosi articoli scientifici su riviste internazionali e nazionali nel settore HVAC, della cogenerazione e dell’efficienza energetica. Si occupa di simulazioni CFD principalmente nel settore impiantistivo e dello scambio termico e del controllo della contaminazione ambientale (cleanroom). EGE (esperto gestione energia) certificato  UNI CEI 11339 settore civile ed industriale. Perito e Consulente Tecnico di Ufficio Tribunale di Milano (isc. Settore Termotecnica ed Energia). Membro AICARR (Associazione Italiana Condizionamento dell’aria, ASCCA (Associazione Contaminazione e Controllo dell’aria), ASHRAE member (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers) . Partecipa regolarmente come relatore a conferenze e convegni nel settore HVAC e dell’energia. E’ docente in corsi di progettazione termotecnica, sicurezza impianti, efficienza energetica e prevenzione legionella.
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Mesh in CFD simulation. How improve it?

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Computational fluid dynamics (CFD) is based on the resolution of extremely complex physical problems using finite element methods: the solution is calculated for a finite number of points and subsequently interpolated over the entire domain. The discretization of the domain takes place through the process of creating the mesh, commonly called meshing: the mesh is nothing but the set of all the elements used for the discretization of the domain.

Figure 1: Meshing of a NACA profile

Generating an adequate mesh to solve the problem you are facing is a complex operation that requires specific skills from the designer and a considerable amount of time: it is estimated that about 30% of the time used to set up a correct simulation CFD is used precisely in the realization of the mesh. We can therefore easily imagine how complex it is to summarize in a few lines the mesh generation process; on the subject we advise you to consult the increasingly substantial technical literature of the sector, as well as to engage in the creation of some meshes for simple geometries and characterized by a reduced number of cells. It may be more interesting to tackle the issue of mesh quality: below we will analyze the commonly used indicators to evaluate the quality of a mesh and, therefore, the possibility of using said mesh in a fluid dynamics simulation.

The quality of the mesh is, as has been said, fundamental for obtaining reliable results from CFD simulations: we will never be able to obtain a good solution starting from a poor quality mesh. To evaluate the quality of the mesh, we typically use some important indicators related to the cells that make up the mesh:

  1. Non-orthogonality
  2. Skewness
  3. Aspect ratio (AR)

 

Non-orthogonality

Each element that makes up the mesh, be it 1D, 2D or 3D, will be formed by geometries more or less close to regular geometries. Formally, the orthogonality of the mesh is the angular deviation between the segment that connects the centers of two cells and the normal to the shared face. The non-orthogonality of a cell is therefore an indicator that measures how much the angle formed by two adjacent cells deviates from its ideal value (for example 90 ° for quadrangular faces or 60 ° for triangular faces). Angles distant from the optimum increase the difficulty of calculating the magnitude gradients exponentially and worsen the continuity of the solution. It seems then evident that the designer’s goal is to obtain a mesh with cells having reduced non-orthogonality. Note that the non-orthogonality of the mesh is considered equal to the maximum non-orthogonality present within the mesh itself; in particular, if we assume that two adjacent cells have non-orthogonality equal to 0 when they form a perfectly ideal angle, we can state that:

 

A)    For non-orthogonality> 85: it is practically impossible to obtain an acceptable solution; the mesh must be revised.

B)    For 70 <non-orthogonality <85: value of acceptable non-orthogonality that however requires some precautions from the designer; for example, the use of correctors within numerical resolution methods will be required. The solution obtained could be reliable, but it will have to be checked carefully.

C)    For 50 <non-orthogonality <70: discrete non-orthogonality value, is typically considered as a good compromise to obtain relatively reliable solutions without excessively increasing the computational cost.

D)    For 25 <non-orthogonality <50: good non-orthogonality value, allows to use calculation schemes less robust and more accurate than less regular meshes; with non-orthogonality values ​​of less than 40, second-order calculation schemes can be exploited, rather than first-order ones, considerably improving the reliability of the solution.

E)     For non-orthogonality <25: optimal non-orthogonality value thanks to which it is possible to safely use second order resolution schemes, obtaining very precise and reliable solutions. The achievement of such a small value of non-orthogonality risks, in some cases, to weigh severely on time, and therefore on the computational cost.

 

Figure 2: Examples of non-orthogonal meshes

Skewness

The second parameter to consider when evaluating the quality of the mesh is the asymmetry of the cells, typically indicated with the term skewness. The skewness of a cell is an indicator that measures how much the real geometry of the cell deviates from the corresponding ideal geometry (for example, the ideal geometry for a hexahedral cell would be a cube): the greater the skewness, the more the geometry will diverge from the ideal. The asymmetry of the cells is a very important problem in the CFD since the numerical equations used in solving the problem are based on the hypothesis that the cells are relatively close to the ideal geometries.The cell skewness is calculated using the normalized angular deviation method, and is defined as:

In the aforementioned definition of the skewness,  refers to the major angle of the cell in question,  to the minor angle while  is the angle of the relative ideal reference geometry. In light of this definition, the cell skewness (for 3D cells) is considered as follows:

 

Valore di skewness Qualità della cella
From 0.9 to 1.0 Worst
From 0.75 to 0.9 Poor
From 0.5 to 0.75 Fair
From 0.25 to 0.5 Good
From 0 to 0.25 Excellent

 

It would be preferable that all the cells that make up the mesh were at least “good”, therefore with skewness less than 0.5; it is however absolutely fine to use meshes that present a limited number of cells with poor quality, especially if these are in positions of little physical interest. A 3D mesh can be considered of high quality when all the cells have a skewness of less than 0.4 and most of them are of excellent quality (<0.25).


Figure 3: Comparison between low skew and high skew cells.

Aspect Ratio

The third parameter to consider in assessing the quality of a mesh is the so-called Aspect Ratio (AR), or the ratio between the maximum size and the minimum size of a cell. Unlike non-orthogonality and skewness, however, there are no benchmark values ​​for evaluating an optimal AR in creating the mesh for a fluid dynamics simulation. Although reduced AR values ​​contribute to the stability of the solution, avoiding unbalances of the fluid flow, it is possible to use meshes with very high AR (even well over 1000) if the mesh size is in the same direction as the fluid. Generally, it can be assumed that an Aspect Ratio of less than 20 does not give any solution convergence problem, regardless of the characteristics of the fluid flow.

Conclusions

Three important indicators of mesh quality were analyzed: non-orthogonality, skewness and Aspect Ratio: the considerations reported above have a very generic value and should be applied to real cases with knowledge of the facts. The experience of the designer in the meshing is fundamental to be able to distinguish the most important indicators for the mesh in question, going to improve one or more specific characteristics of the mesh.In general, we must always remember an important lesson concerning meshing: a good mesh does not guarantee a good solution, but a poor mesh guarantees a poor solution.

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Ing. Gaetano Trovato

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Progettista e Consulente per importanti società ed enti nel settore HVAC e dell’energia, sia in ambito civile terziario che industriale ed è titolare e fondatore di STT ENGINEERING. E’ autore di numerosi articoli scientifici su riviste internazionali e nazionali nel settore HVAC, della cogenerazione e dell’efficienza energetica. Si occupa di simulazioni CFD principalmente nel settore impiantistivo e dello scambio termico e del controllo della contaminazione ambientale (cleanroom). EGE (esperto gestione energia) certificato  UNI CEI 11339 settore civile ed industriale. Perito e Consulente Tecnico di Ufficio Tribunale di Milano (isc. Settore Termotecnica ed Energia). Membro AICARR (Associazione Italiana Condizionamento dell’aria, ASCCA (Associazione Contaminazione e Controllo dell’aria), ASHRAE member (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers) . Partecipa regolarmente come relatore a conferenze e convegni nel settore HVAC e dell’energia. E’ docente in corsi di progettazione termotecnica, sicurezza impianti, efficienza energetica e prevenzione legionella.
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